bmxlocurajoche - Leyes de Maxwell

Las leyes de Maxwell:

Ley de Gauss:

Es la que explica la relación entre el flujo del campo eléctrico y una superficie cerrada. se le difine flujo eléctrico a ( $Phi$ ) por la cantidad de fluido que pasa por la superficie dada. este fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad del campo eléctrico ( $vec{E}$ ) que pasa por una superficie S. Matemáticamente se expresa como:

$Phi_{iint_0^{inf}} = oint_S vec{E}_{(r)} cdot d vec{S}$

La ley dice que el flujo del campo eléctrico a través de la superficie cerrada es igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la permitividad eléctrica en el vacío ( $varepsilon_0$ ), así:

$oint_{S} vec{E} cdot dvec{S} = frac {q}{varepsilon_0}$

La forma diferencial de la ley de Gauss, en forma local, afirma que la divergencia del campo eléctrico es proporcional a la densidad de la carga, es decir,

$vec{nabla} cdot vec{E} = frac{rho}{varepsilon_0}$

donde $rho$ es la densidad de carga en el vacío. Intuitivamente significa que el campo E diverge o sale desde una carga $frac{rho}{varepsilon_0}$ , lo que se representa gráficamente como vectores que salen de la fuente que las genera en todas direcciones. Por convención si el valor de la expresión es positivo entonces los vectores salen, si es negativo estos entran a la carga.

Para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densiad de flujo eléctrico ( $vec{D}$ ) y nuestra expresión obtiene la forma.

$vec{nabla} cdot vec{D} = rho$

Ley de Gauss para el campo magnético:

Se llegó al resultado de que los campos magnético, a diferencia de los eléctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes. esto indica que las lineas del acmpo magnético deben estar cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces de encerrada una fuente o sumidero de campo, esto expresa la inexistencia del monopolo magnético.

$vec{nabla} cdot vec{B} = 0$

donde $vec{B}$ es la densidad de flujo magnético, también llamada inducción magnética. Es claro que la divergencia sea cero porque no salen ni entran vectores de campo sino que este hace caminos cerrados. El campo no diverge, es decir la divergencia de B es nula.

Su forma integral equivalente:

$oint_S vec{B} cdot dvec{S} = 0$

Ley de faraday-lenz:

Lo primero que se debe introducir es la fuerza electromotriz ( $mathcal{E}$ ), si tenemos un campo magnético variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eléctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético, así:

$mathcal{E} = - frac{d phi_B}{d t}$ ,

como el campo magnético es dependiente de la posición tenemos que el flujo magnético es igual a:

$phi_B = int_{S} vec{B} cdot dvec{S}$ .

Además, el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eléctrico que se representa como:

$mathcal{E} = oint vec{E} cdot dvec{l}$

con lo que finalmente se obtiene la expresión de la ley de faraday:

$oint vec{E} cdot dvec{l} = - { d over dt } int_{S} vec{B} cdot dvec{S}$

Ley de Ampère generalizada

Ampére formuló la relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no varia en el tiempo. la ley de ampére nos dice que si circula un campo magnético ( $vec{B}$ ) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de la corriente ( $vec{J}$ ) sobre la superficie encerrada en la curva C, matemáticamente así:

$oint_C vec{B} cdot dvec{l} = mu_0 int_S vec{J} cdot dvec{S}$

Pero cuando esta relación se la considera con campos que sí varían a través del tiempo llega a cálculos erróneos, como el de violar la conversación de la carga. Maxwell corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente por heinrich Hodolf Hertz.

Maxwell reformuló esta ley así:

$oint_C vec{B} cdot dvec{l} = mu_0 int_S vec{J} cdot dvec{S} + mu_0 varepsilon_0 frac{d}{dt} int_S vec{E} cdot dvec{S}$

En el caso específico esta relación corresponde a la ley de Ampère, además confirma que un campo eléctrico que varía con el tiempo produce un campo magnético y además es consecuente con el principio de conservación de la carga.

En forma diferencial, esta ecuación toma la forma:

$vec{nabla} times vec{B} = mu_0 vec{J} + mu_0 varepsilon_0 frac{partial vec{E}}{partial t}$

En forma sencilla ecuación explica que si se tiene un conductor, un alambre recto que tiene una densidad de corriente J, esta provocando la aparición de un campo magnético B rotacional alrededor del alambre y que el rotor de B apunta en el mismo sentido que J.

Fuente: es.wikipedia.org